Question

如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线分别交AC，AD于E，F点，EG⊥BC，若BA=6，AC=8，AD=10．
（1）求FD的长；
（2）求△BEC的面积．

Answer 1

分析：（1）由题中线段的长度，根据勾股定理可判定△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，再由平行四边形的性质及角平分线可推出AB=AF=6，则FD可求．
（2）由平行四边形的性质可证昨△AEF∽△CEB，利用相似比可求出EC的长，则AE的长可求，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，则EG=AE，△BEC的面积可求．

解答：解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴BC=AD=10，AB=CD=6，AD∥BC，
在△ABC中，BA=6，AC=8，BC=10，由勾股定理的逆定理得BA²+AC²=BC²，
∴△ABC为Rt△，∠BAC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠AFB，∠DAE=∠BCE，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6（等角对等边），
∴FD=AD-AF=10-6=4．

（2）由（1）知△AEF∽△CEB，
∴AF：BC=AE：EC，
∴AF：（AF+BC）=AE：（AE+EC）即6：（6+10）=AE：8，
∴AE=3
∵E是∠ABC的平分线BF上的点，EG⊥BC，EA⊥AB，
∴EG=AE=3，
S_△BEC=

1

2

×10×3=15．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，角平分线上的点、相似三角形等内容，比较复杂．