Question

（2013•大丰市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD在于x轴上，CD=

3

2

，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F． 设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．
（1）求线段CE的长；
（2）记S为Rt△CDE与△ABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；
（3）连结DF，①当t取何值时，有DF=CD？②直接写出△CDF的外接圆与OA相切时t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）直接根据勾股定理求出CE的长即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长，FH∥ED可得出

HD

CD

=

EF

CE

，故可求出HD的长，由三角形的面积公式可求出S与t的关系式；
（3）①由（2）知CF=t，当DF=CD时，作DK⊥CF于K，则CK=

1

2

CF=

1

2

t，CK=CDcos∠DCE，由此可得出t的值；

解答：解：（1）∵在Rt△CDE中，CD=

3

2

，DE=2，
∴CE=

CD2+DE2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

；

（2）如图1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四边形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
∴BE=OD=OC+CD=t+

3

2

，
∴AE=AB-BE=4-（t+

3

2

）=

5

2

-t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

t

5 2 -t

，

DG

EG

=

OD

AE

=

t+ 3 2

5 2 -t

，
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴

EF+CF

CF

=

5 2 -t+t

t

，

EG+DG

EG

=

t+ 3 2 + 5 2 -t

5 2 -t

，
∴CF=t，EG=

5 2 -t

2

，
∴EF=CE-CF=5-t，
∵FH∥ED，
∴

HD

CD

=

EF

CE

，即HD=

EF

CE

•CD=

3

5

（

5

2

-t），
∴S=

1

2

EG•HD=

1

2

×

5 2 -t

2

×

3

5

（

5

2

-t）=

3

20

（

5

2

-t）²，
t的取值范围为：0≤t≤

5

2

；

（3）①由（2）知CF=t，
如图2，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，
则CK=

1

2

CF=

1

2

t，
∵CK=CDcos∠DCE，
∴

1

2

t=3×

3

5

，
解得：t=

18

5

；
∴当t=

18

5

时，DF=CD；

点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质及切割线定理，涉及面较广，难度较大．