Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．

（1）求证：CD∥AB；

（2）填空：

①当∠DAE＝　 　时，四边形ADFP是菱形；

②当∠DAE＝　 　时，四边形BFDP是正方形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．

【解析】

（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；

（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；

②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．

（1）证明：连接OD，如图所示，

∵射线DC切⊙O于点D，

∴OD⊥CD，

即∠ODF＝90°，

∵∠AED＝45°，

∴∠AOD＝2∠AED＝90°，

∴∠ODF＝∠AOD，

∴CD∥AB；

（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，

∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，

∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，

∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，

∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，

∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，

故答案为：67.5°；

②∵四边形BFDP是正方形，

∴BF＝FD＝DP＝PB，

∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，

∴此时点P与点O重合，

∴此时DE是直径，

∴∠EAD＝90°，

故答案为：90°．