Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点O是边BC上的动点，以点O为圆心，OB为半径作圆O，交AB边于点D，过点D作∠ODP=∠B，交边AC于点P，交圆O与点E．设OB=x．
（1）当点P与点C重合时，求PD的长；
（2）设AP﹣EP=y，求y关于x的解析式及定义域；
（3）联结OP，当OP⊥OD时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，

∵AB=AC=5，AH⊥BC，

∴BH=CH=3，AH=4，

∵ BCAH= ABCG，

∴CG= ，AG= = ，

∴cos∠B= ，cos∠BAC= ，

如图2中，当点P与C重合时，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB=∠ACB，

∵∠ADO=∠B+∠BOD=∠CDO+∠ADP，∠ODP=∠B，

∴∠ADP=∠BOD=∠BAC，

∴PA=PD=5；

（2）解：如图2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．

∵AD=2AG= ，

∵BD=2BH=2OBcos∠B= x，

∴ x+ =5，

∴x= ，

如图3中，当P、E重合时，作EG⊥AD于G．

根据对称性可知，B、E关于直线OD对称，

∴DB=DE=AE= x，

∵cos∠A= = ，

∴ = ，

解得x= ，

当点D与A重合时 x=5，

∴x= ，

当 ≤x≤ 时，如图4中，

∵y=PA﹣PE=PD﹣PE=DE=BD= x，

∴y= x，

当 ＜x＜ 时，如图5中，作PG⊥AB于G．

∵BD=DE= x，DG=AG= （5﹣ x），

∴AP=AG÷cos∠A= （5﹣ x），

∴y=AP﹣EP= （5﹣ x）﹣[ x﹣ （5﹣ x）]=﹣ x+ ，

综上所述，y= ．

（3）解：如图6中，连接OP．

连接OP，∵OP⊥AC，

∴cos∠C=cos∠B= = ，

∴ = ，

∴x= ，PC= ，OP= ，

∵ ＜ + ，

∴以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系是相交．

【解析】（1）如图1中，首先求出cos∠B，cos∠A，如图2中，当点P与C重合时，只要证明PA=PD即可；（2）如图2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．分两种情形①当 ≤x≤ 时，如图4中．②当 ＜x＜ 时，如图5中，作PG⊥AB于G．（3）如图6中，连接OP．根据cos∠C=cos∠B= = ，列出方程，求出两圆的半径，圆心距即可判断．