【题目】综合与探究：在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与
轴交于
，
两点(点在点的右侧)，与
轴交于点
，它的对称轴与轴交于点
，直线
经过，两点，连接
．
（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）探索直线上是否存在点
，使
为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点
是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点
：
①使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；
②使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）点
的坐标为
，点
的坐标为
，
；（2）存在，点
的坐标为
或
；（3）①抛物线上存在点
，使以点
为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为
；②抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为
【解析】
（1）先由抛物线的解析式以及图像特征求得点
、
的坐标，再利用待定系数法即可求得直线
的函数表达式；
（2）先由点、 、 三点的坐标根据坐标系中距离公式推出
为等边三角形，再分两种情况画图进行分类讨论，利用解直角三角形确定符合要求的点的坐标．
（3）①通过添加辅助线构造出四边形
，然后根据菱形的判定方法进行证明即可；
②通过添加辅助线构造出四边形，然后根据矩形的判定方法进行证明即可．
解：（1）当
时，
解得
，
∵
∴点的坐标为，点的坐标为
∴抛物线的对称轴为直线
∴点的坐标为
当
时，
∴点的坐标为
设直线的表达式为
，则
解得
∴直线的表达式为．
（2）结论：直线上存在点，使为直角三角形．
证明：∵点的坐标为，点的坐标为
∴
又∵点
的坐标为，
∴
∴
∴为等边三角形
∴
分两种情况：
①当
时，
∵
∴
作
轴于点
，如图：
∵在
中，
∴
，
∴点
的坐标为．
②作
轴于点
，如图：
当
时
∵
∴
，
∴
∴
在
中，
∴
，
∵
∴点
的坐标为
∴综上所述：直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或；
（3）①过点作
轴交抛物线于点，连接
，如图：
∵点的坐标为，
∴当时，
∴
，
（不合题意舍去）
∴点的坐标为
∴
∵点的坐标为
∴
∵由（2）可知
∴
∴四边形
是菱形
∴当点
位于点处时，抛物线上存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为；
②过点作
交直线于点，连接
、
，如图：
∵
∴
∵由（2）可知
∴
∵由（2）可知
∴
∴
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
∴
，
∴
∴四边形
是矩形
∴抛物线上存在点即点处，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为．
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【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝
，BD＝2，求OE的长．
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【题目】在2019年植树节这一天，某校组织300名七年级学生，200名八年级学生，100名九年级学生参加义务植树活动.图甲是根据植树情况绘制成的条形统计图.
请根据题中提供的信息解答下列问题.
(1)参加植树的学生平均每人植树多少棵？
(2)图2是小明同学尚未完成的各年级植树情况的扇形统计图，请你把它补充完整(要求标注圆心角度数)；
(3)若该种树苗在正常情况下的成活率为85%，则今后还需补种多少棵树？(补种树苗的成活率也为85%)
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【题目】已知菱形ABCD与线段AE，且AE与AB重合．现将线段AE绕点A逆时针旋转180°，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设∠B=α，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点A，对点A作如下变换：
第一步：作点A关于x轴的对称点A1；第二步：以O为位似中心，作线段OA1的位似图形OA2，且相似比
=q，则称A2是点A的对称位似点．
(1)若A(2，3)，q=2，直接写出点A的对称位似点的坐标；
(2)已知直线l：y=kx-2，抛物线C：y=-
x2+mx-2(m＞0)．点N(
，2k-2)在直线l上．
①当k=时，判断E(1，-1)是否是点N的对称位似点，请说明理由；
②若直线l与抛物线C交于点M(x1，y1)(x1≠0)，且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上？请说明理由．
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【题目】如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，点
与点关于轴对称．
（1）求点，，的坐标；
（2）求直线
的解析式；
（3）在直线下方的抛物线上是否存在一点
，使
的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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【题目】学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学位为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如下不完整的统计图表．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）
=___________，
=_____________；
（2）该调查统计数据的中位数是_________，众数是__________；
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
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【题目】下列说法正确的是（ ）
A.了解全国中学生最喜爱哪位歌手，适合全面调查．
B.甲乙两种麦种，连续3年的平均亩产量相同，它们的方差为：S甲2＝5，S乙2＝0.5，则甲麦种产量比较稳．
C.某次朗读比赛中预设半数晋级，某同学想知道自己是否晋级，除知道自己的成绩外，还需要知道平均成绩．
D.一组数据：3，2，5，5，4，6的众数是5．
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【题目】立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：
成绩（m） | 2.3 | 2.4 | 2.5 | 2.4 | 2.4 |
则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ）
A.众数是2.3B.平均数是2.4
C.中位数是2.5D.方差是0.01
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