Question

半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）求证：△ABC∽△PQC；          
（2）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长；
（4）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理的推论：直径所对圆周角为直角可证得：∠ACB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等即可证明：△ABC∽△PQC；    
（2）由题意得，∠ACB=90°，由勾股定理得BC，AC，即可得出CD，PC，则△ACB∽△PCQ，

AC

PC

=

BC

CQ

，求得CQ；
（3）点P在

AB

上运动时，有CQ=

4

3

PC．当PC最大时，CQ取到最大值，即可求得CQ最大值；
（4）根据已知得BE，再由三角函数得出PE，PC，从而求出CQ．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴△ABC∽△PQC；

（2）解：当点P运动到与点C关于AB对称时，此时CP⊥直径AB于D，
∴CP=2CD
∵AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC?BC=AB?CD，
∴CD=4.8．
∴CP=2CD=9.6，
∵△ABC∽△PQC，
∴

BC

CQ

=

AC

PC

，
∴CQ=12.8；

（3）解：因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC
所以PC最大时，CQ取到最大值．
∴当PC过圆心O，即PC 取最大值 10时，CQ最大，最大为

40

3

．

（4）解：当点P运动到弧AB的中点时，如图所示，过点B作BE⊥PC于点E，
∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，
∴∠PCA=45°，
∴在Rt△CBE中，CE=BE=4

2

，易证：△ABC∽△PBE，∴PE=3

2

，
∴CP=7

2

∴CQ=7

2

×

4

3

=

28 2

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理和解直角三角形，是中考压轴题，难度偏大．