Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝12，∠A＝60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）AB的长是　 　．

（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．

（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）EF与AD平行且相等，理由见解析；（3）t＝4

【解析】

（1）在Rt△ABC中，∠C＝30°，则AC＝2AB，得到AB的值．

（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD＝EF，在运动过程中关系不变．

（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．

解：（1）Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．

∴∠C＝30°

∵AC＝12

∴AB＝6，

故答案为：6；

（2）EF与AD平行且相等．

证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，

∴DF＝t．

又∵AE＝t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

∴四边形AEFD为平行四边形．

∴EF与AD平行且相等．

（3）能；理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又∵AE＝DF，

∴四边形AEFD为平行四边形．

∵AB＝6，AC＝12．

∴AD＝AC﹣DC＝12﹣2t．

若使AEFD为菱形，则需AE＝AD，

即t＝12﹣2t，t＝4．

即当t＝4时，四边形AEFD为菱形．