Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得△EDN≌△DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝1，得到BM＝3，设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，根据二次函数的性质即可求得．

解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，

∴∠EDN+∠DEN＝90°，

∵∠EDC＝90°，

∴∠EDN+∠CDM＝90°，

∴∠DEN＝∠CDM，

在△EDN和△DCM中

∴△EDN≌△DCM（AAS），

∴EN＝DM，

∵∠BAC＝120°，

∴∠MAC＝60°，

∴∠ACM＝30°，

∴AM＝AC＝2＝1，

∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，

设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，

∴S△BDE＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，

∴当BD＝1.5时，S△BDE有最大值为，

故答案为．