Question

已知：如图，在△ABC中，D为A月边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB?AD．

    (1)试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形，

    (2)若AB=1，求AC的长，

    (3)试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形．

Answer 1

解：(1)在△ABC中，AC=BC，∠A＝36°，∴∠B=∠A=36°，∠ACB=108°

在△ABC与△CAD中，∠A=∠B=36°．

∵AC²=AB?AD，∴．

∴△ABC∽△CAD．

∴∠ACD=∠B=36°．

∴∠CDB=72°，∠DCB=108°-36°=72°．

∴△ADC和△BDC都是等腰三角形．

 (2)设AC＝x，则AD=1-BD=1-BC=1-2x

∴x²=1×(1-x)，即x²＋x-1＝0．解得 （舍去)．

∴

(3)说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分类得分．

①有4个等腰三角形，得1分；

②有6个等腰三角形，得2分；

③有8个等腰三角形，得4分．