Question

【题目】已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC＝45°，BD＝1，CB＝4，则AC长为_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

作辅助线，构建正方形AHGF，则AF=GH=GF，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，DG=x-1，在Rt△DGC中，利用勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理计算AC的长即可．

解：过A作AE⊥DC于E，将△AEC沿AC翻折得△AFC，将△ADE沿AD翻折得△ADH，延长FC、HD交于G，

则∠EAC=∠CAF，∠EAD=∠HAD，∠H=∠F=90°，
∴∠EAC+∠EAD=∠CAF+∠HAD，
∵∠DAC=45°，即∠EAC+∠EAD=45°，
∴∠HAF=90°，
∴四边形AHGF是矩形，
∵AH=AE，AE=AF，
∴AH=AF，
∴四边形AHGF是正方形，
∴AF=GH=GF，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=2，
由折叠得：FC=EC=2，HD=DE=3，
设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，
∴DG=x-1，
在Rt△DGC中，DC2=DG2+GC2，
52=（x-1）2+x2，
解得：x1=4，x2=-3（舍），
∴AF=x+2=4+2=6，
Rt△ACF中，AC=2

故答案为：2．