Question

如图，过A（8，0）、B（0，8）两点的直线与直线y=x交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设l的解析式为：y=kx+b， 把A（8，0）、B（0，8）分别代入解析式， 得：，解得：k=﹣， 则函数解析式为：y=﹣x+8． 将y=﹣x+8和y=x组成方程组， 得：，解得：． 故得C（4，）， ∵OA=8， ∴t的取值范围是：0≤t≤4； （2）作EM⊥y轴于M，DG⊥y轴于点G， ∵D点的坐标是（t，﹣t+8）， E点的坐标是（t，t）， ∴DE=﹣t+8﹣t=8﹣2t； ∴等边△DEF，DE边上的高为：DE=12﹣3t； 根据E点的坐标，以及∠MNE=60°， 得出MN=t， 同理可得：GH=t， ∴可求梯形上底为：8﹣2t﹣t， ∴当点F在BO边上时：12﹣3t=t， ∴t=3． 当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形面积为： S=（8﹣2t+8﹣2t﹣t） =（16﹣t） =﹣t2+8t； 当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形，可求面积为： S=（8﹣2t）（12﹣3t） =3t2﹣24t+48； （3）存在，P（，0）； 说明：∵FO≥4，FP≥4，OP≤4， ∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是 FO，FP，若FO=FP时，t=2（12﹣3t），t=， ∴点P的坐标为（，0）．