Question

【题目】已知，如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，于点，交⊙于点与交于点，点为的延长线上一点，且．

（1）试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙的半径为，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由∠ABC=∠AEC，，得，进而得AB⊥BD，即可得到结论；

（2）连接BE，得∠AEB=90°，BE=6，易证BE~AEB，从而得，即可求解．

（1）直线与⊙相切，理由如下：

∵∠ABC与∠AEC是同弧所对的圆周角，

∴∠ABC=∠AEC，

∵，

∴，

∵，

∴∠ABC+∠BOD=∠ODB+∠BOD=90°，即：AB⊥BD，

∴直线是⊙的切线；

（2）连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵⊙的半径为，，

∴BE=，

∵，

∴，

∴∠A=∠EBH，

又∵∠BEH=∠AEB，

∴BE~AEB，

∴，即：，解得：=．