Question

【题目】如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平

分线于点，交的外角平分线于点．

求证：；

当点运动到何处时，四边形是矩形？为什么？

进行怎样的变化才能使边上存在点，使四边形是正方形？为什么？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当点运动到的中点时，四边形是矩形，理由见解析

【解析】

（1）由已知MN∥BC得到两对内错角相等，再由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，根据等量代换可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，分别根据“等角对等边”得证；

（2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证；

（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．

证明：∵，

∴，，

又已知平分，平分，

∴，，

∴，，

∴，，

∴；

解：当点运动到的中点时，四边形是矩形．

∵当点运动到的中点时，，又，

∴四边形为平行四边形，

又为的平分线，为的平分线，

∴，，

∴，即，

∴四边形是矩形；解：当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．

∵由知，当点运动到的中点时，四边形是矩形，

已知，当，则

，

∴，

∴四边形是正方形．