Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为．

求该抛物线的解析式；

抛物线的顶点为，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标；

点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；

若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．问：是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）；（4）的坐标为：或或或．

【解析】

（1）把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值，可求得抛物线解析；

（2）可求得点C关于x轴的对称点C′的坐标，连接C′N交x轴于点K，再求得直线C′K的解析式，可求得K点坐标；

（3）过点E作EG⊥x轴于点G，设Q（m，0），可表示出AB、BQ，再证明△BQE≌△BAC，可表示出EG，可得出△CQE关于m的解析式，再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标；

（4）分DO＝DF、FO＝FD和OD＝OF三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标，进一步求得P点坐标即可．

∵抛物线经过点，，

∴，解得，

∴抛物线解析式为；

由可求得抛物线顶点为，

如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，

设直线的解析式为，

把、点坐标代入可得，解得，

∴直线的解析式为，

令，解得，

∴点的坐标为；

设点，过点作轴于点，如图，

由，得，，

∴点的坐标为，，，

又∵，

∴，

∴，即，

解得；

∴．

又∵，

∴当时，有最大值，此时；

存在．在中，

若，∵，，

∴．

又在中，，

∴．

∴．

∴．

此时，点的坐标为．

由，得，．

此时，点的坐标为：或；

若，过点作轴于点．

由等腰三角形的性质得：，

∴．

∴在等腰直角中，．

∴．

由，得，．

此时，点的坐标为：或；

若，

∵，且．

∴．

∴点到的距离为．

而，与矛盾．

∴在上不存在点使得．

此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形．

综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点的坐标为：或或或．