Question

【题目】如图，在梯形中，，，．是边的中点，联结、，且．设，．

（1）如果，求的长；

（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）联结．如果是以边为腰的等腰三角形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），自变量的取值范围是，且；（3）

【解析】

（1）首先过点D作DH⊥BC，垂足为点H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的长，然后设CH=，则CD=2，利用勾股定理即可求得答案；
（2）首先取CD的中点F，连接EF，由梯形的中位线，可表示出EF的长，易得四边形ABHD是平行四边形，然后由勾股定理可求得答案；
（3）分别从CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案．

（1）过点作，垂足为点．

∵，，，

∴．

在中，

∵，

∴，

∴．

设，则，

利用勾股定理，得．

即得，

解得（负值舍去）．

∴；

（2）取CD的中点F，连接EF，

∵为边的中点，

∴，

∵，

∴．

又∵，

∴．

由，，得．

∴．

又∵，

∴四边形是平行四边形，

∴，

即得，

在中，利用勾股定理，得．

即得．

解得．

∴所求函数解析式为．

自变量的取值范围是，且．

（3）当是以边为腰的等腰三角形时，有两种可能情况：

或．

①如果，

作于H，

∴，

即得，

∵，

∴．

解得，．

经检验：，，是方程的解，

但不合题意，舍去．

∴；

②如果，则．

即得（不合题意，舍去）．

综上，如果是以边为腰的等腰三角形，的值为．