Question

【题目】阅读理解：

圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……；先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易．

解决问题：

如图，点与点的坐标分别是，，点是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使的点有_________个；

（2）若点在的负半轴上，且，求满足条件的点的坐标；

（3）当为锐角时，设，若点在轴上移动时，满足条件的点有4个，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）无数；（2）或；（3）．

【解析】

（1）以AB为边作出等边△ABE和△ABF，分别以点E、F为圆心，AB为半径作⊙E、⊙F，根据圆周角定理可知，使的点有无数个；

（2）过点E作EH⊥y轴，EG⊥x轴，垂足分别为H、G，连接EC1，利用垂径定理求得AH＝BH＝3，再根据矩形性质得EG＝OH＝5，OG＝EH，最后利用勾股定理计算即可；

（3）根据满足条件的点有4个可知⊙E、⊙F与x轴相交，当⊙E与x轴相切于点C时，可得EB＝EC＝OH＝5，利用三角函数可求得sin∠BEH的值，再根据垂径定理及圆周角定理可得∠BEH＝∠ACB，进而可求得符合题意的的取值范围．

解：（1）如图，△ABE和△ABF为等边三角形，分别以点E、F为圆心，AB为半径作⊙E、⊙F，根据圆周角定理可知，弦AB所对的优弧上的任意一点C都使，

∴使的点有无数个；

（2）如图，过点E作EH⊥y轴，EG⊥x轴，垂足分别为H、G，连接EC1，

∵点与点的坐标分别是，，

∴OA＝2，OB＝8，AB＝6，

∵EH⊥y轴，

∴AH＝BH＝3，

∴OH＝OA＋AH＝2＋3＝5，

∵EH⊥y轴，EG⊥x轴，x轴⊥y轴，

∴四边形EGOH为矩形，

∴EG＝OH＝5，OG＝EH，

∵AB＝6，△ABE为等边三角形，点C1在⊙E上

∴EC1＝EA＝AB＝6，

在Rt△EAH中，EH，

∴OG＝EH＝，

在Rt△EC1G中，C1G，

∴OC1＝ OG＋ C1G＝，

∴点C1坐标为，

同理可得：点C2坐标为，

满足条件的点的坐标为或；

（3）如图，当⊙E与x轴相切于点C时，则EC⊥x轴，EC＝EB，

又∵EH⊥y轴，x轴⊥y轴，

∴四边形ECOH为矩形，

∴EC＝OH＝5，

∴EB＝EC＝5，

∴在Rt△EBH中，sin∠BEH，

∵∠BEH＝∠BEA，∠ACB＝∠BEA，

∴∠ACB＝∠BEH

∴sin∠ACB＝sin∠BEH，

∵当为锐角时，满足条件的点有4个，

∴⊙E与x轴相交，

∴sin∠ACB＜，

∵，

∴的取值范围为：．