Question

【题目】如图，抛物线:与:相交于点、，与分别交轴于点、，且为线段的中点.

（1）求的值；

（2）若,求的面积；

（3）抛物线的对称轴为，顶点为，在（2）的条件下：

①点为抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；

②如图12.2，点在抛物线上点与点之间运动，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①P（，）；②存在，

【解析】

（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；

（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；

（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；

②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．

解：

（1）在y=x2+ax中，

当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，

∴B（﹣a，0），

在y=﹣x2+bx中，

当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，

∴A（0，b），

∵B为OA的中点，

∴b=﹣2a，

∴；

（2）联立两抛物线解析式可得：，

消去y整理可得，

解得，，

当时，，

∴C（，），

过C作CD⊥x轴于点D，如图1，

∴D（，0），

∵∠OCA=90°，

∴△OCD∽△CAD，

∴，

∴CD2=ADOD，即，

∴a1=0（舍去），（舍去），，

∴OA=-2a=，CD==1，

∴；

（3）①抛物线，

∴其对称轴，点A关于l2的对称点为O（0，0），C（ ，1），

则P为直线OC与l2的交点，

设OC的解析式为y=kx，

∴1=k，得k=，

∴OC的解析式为，

当时，，

∴P（，）；

②设E（m，）（），则，

而B（，0），C（ ，1），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

由，解得：k= ，b=-2，

∴直线BC的解析式为，

过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，

则，即x=

∴EN=

∴

∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC

，

，

∴当时，，

当时，，

∴E（，），．