Question

在直角坐标系中，⊙O₁经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．
（1）如图，过点A作⊙O₁的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为

12

5

，sin∠ABC=

3

5

，求直线AC的解析式；
（2）若⊙O₁经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．

Answer 1

（1）如图1，过O作OG⊥AB于G，则OG=

12

5

．
设OA=3k（k＞0），
∵∠AOB=90°，sin∠ABC=

3

5

．
∴AB=5k，OB=4k．
∵OA•OB=AB•OG=2S_△AOB′
∴3k×4k=5×

12

5

，∴k=1．
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∴A（3，0）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O₁的直径．
∵AC切⊙O₁于A，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中
∵cos∠ABC=

AB

BC

=

4

5

，
∴BC=

25

4

．
∴OC=BC-OB=

9

4

．
∴C（0，-

9

4

）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则

3k+b=0 b=- 9 4

∴k=

3

4

，b=-

9

4

．
∴直线AC的解析式为y=

3

4

x-

9

4

．

（2）结论：d+AB的值不会发生变化，
设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示．
∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=

d

2

．
∴BQ=BT=OB-

d

2

，AP=AT=OA-

d

2

．
∴AB=BT+AT=OB-

d

2

+OA-

d

2

=OA+OB-d．
则d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN．
∵M（2，2），
∴OM平分∠AOB，
∴OM=2

2

，
∴∠BOM=∠MON=45°，
∴AM=BM，
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，
∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON，
∴OM=NM∠OMN=90°，
∴OA+OB=OA+AN=ON=

OM2+MN2

=

2

×OM=

2

×2

2

=4．
∴d+AB的值不会发生变化，其值为4．