Question

【题目】如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标（，）．

【解析】

（1）因为对称轴是直线x=-1，所以得到点A（-3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式．
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）

由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）

即：y＝a（x﹣1）（x+3）

把B（0，3）代入得：3＝﹣3a

∴a＝﹣1

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴，

∴直线AB为y＝x+3，

作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），

∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，

∴，

当时，，，

∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）.