如图.在边长为2个单位长度的正方形ABCD中.点O.E分别是AD.AB的中点.点F是以点O为圆心.OE长为半径的圆弧与DC的交点.点P是上的动点.连接OP并延长交直线BC于K．(1)当P从E点沿运动到F时.K运动了多少单位长度?(2)过点P作所在圆的切线.当该切线不与BC平行时.设它与射线AB.直线BC分别交于M.G.①当K与B重合时.BG:BM=?②在P运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2005•江西）如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心，OE长为半径的圆弧与DC的交点，点P是

上的动点，连接OP并延长交直线BC于K．
（1）当P从E点沿

运动到F时，K运动了多少单位长度？
（2）过点P作

所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于M、G，
①当K与B重合时，BG：BM=？
②在P运动过程中，是否存在BG：BM=3的情况？若存在，求出BK的值；若不存在说明理由．

【答案】分析：（1）当K是射线OE与直线BC的交点时，K运动到最左端，当K是射线OF与直线BC的交点时，K运动到最右端；所以可连接OE、OF，并延长其交直线BC于N、Q，可通过证△OAE≌△NBE，来求得BN的长，同理可求出CQ的长，那么K点运动的距离NQ的长即可求出．
（2）①当K、B重合时，若MG与⊙O相切于P点，那么MG⊥BO于P，则可证得△OAB∽△MBG，那么BM：BG=OA：OB，OA、OB的长易求得，由此可得出BM：BG的值．
②此题的解题思路同①，可过K作AD的垂线，设垂足为H，当M在线段AB上时，可通过证△MBG∽△OHK，得到BM：BG=OH：HK，HK的长即为正方形的边长2，若BM：BG=3，那么OH=

，所以存在符合条件的K点，此时BK=OA-OH=

；同理可求得在线段BC、CD以及CB的延长线上都存在符合条件的K、M、G点，解法同上．
解答：解：（1）连接OE、OF，并延长OE、OF分别交直线BC于N、Q，
当P从点E运动到点F时，点K从点N运动到了点Q；
∵O、E分别为AD、AB的中点，
∴OA=AE=BE=1，
又∵∠A=∠EBN=90°，∠AEO=∠NEB，

∴△OAE≌△NBE，得OA=BN=1，
同理可得CQ=1；
故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4，即点K运动了4个单位长度．

（2）①当K、B重合时，
∵MG与弧EF所在的圆相切，且切点为P，
∴OB⊥MG，
∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°，
∴∠OBA=∠BGM，
又∵∠MBG=∠OAB=90°，
∴△OAB∽△MBG，得：

，由于BA=2OA，则BG：BM=2．

②存在BG：BM=3的情况，理由如下：
假设存在符合条件的P点，使得BG：BM=3，过K作KH⊥OA于H，
则四边形ABKH为矩形，有KH=AB=2；
∵MG与弧EF相切于点P，
∴OK⊥MG，且垂足为P，
∴∠1+∠2=90°；
又∵∠G+∠2=90°，则∠1=∠G；
∵∠OHK=∠GBM=90°，
∴△OHK∽△MGB，
∴

，
∴OH=

，AH=BK=

；
∴存在符合题意的K点，使得BG：BM=3；
同理可得：在线段BC、CD以及CB的延长线上，存在这样的点K′、

M″、G′，
使得CK′=

，CG′：CM″=3；
连接G′M″交AB于M′，则BG′：BM′=CG′：CM″=3；
此时BK′=BC-K′C=2-

，即BK的值为

或

．
点评：此题考查了正方形的性质、切线的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质等知识，能够通过相似三角形将所求比例线段和已知线段发生联系，是解答此题的关键．

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