Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．
（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD=AC，求证：CD=CE．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°=∠BAC，
∴∠FAD-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠FAC=∠BAD，
在△ABD和△ACF中
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠B=∠FCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，
∴FC⊥BC．

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD=AC，
∴AC=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=EF，∠DAF=∠EFA=90°，
∴∠DAF-∠CAF=∠EFA-∠CFA，
∴∠DAC=∠EFC，
在△DAC和△EFC中
，
∴△DAC≌△EFC（SAS），
∴CD=CE．
分析：（1）根据正方形的性质得出AD=AF，∠FAD=90°=∠BAC，求出∠FAC=∠BAD，证出△ABD≌△ACF，推出∠B=∠FCA即可；
（2）根据△ABD≌△ACF，推出BD=CF=AC，求出∠DAC=∠EFC，根据SAS推出△DAC≌△EFC即可．
点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．