Question

问题背景：
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：s=-x2+

1

2

x（x＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．
提出新问题：
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析问题：
若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y=2(x+

1

x

)（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=2(x+

1

x

)（x＞0）的图象：

x	…	1/4	1/3	1/2	1	2	3	4	…
y	…	17 2	20 3	5	4	5	20 3	17 2	…

（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=

1

时，函数y=2(x+

1

x

)（x＞0）有最

小

值（填“大”或“小”），是

4

．
（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s=-x2+

1

2

x（x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，x=(

x

)2〕

Answer 1

分析：（1）将x的值代入已知的函数解析式中，在确定了各点的坐标后，再通过描点-连线作出函数的图形．
（2）通过（1）的计算结果和函数图象即可得到结论．
（3）题干最后的“提示”已经给出了解题的思路，首先可以将函数化为：y=2（x+

1

x

）=2（

x

-

1

x

）²+2，根据x的取值范围即可判断出y的最小值．

解答：解：（1）当x=

1

4

时，y=2×（

1

4

+4）=

17

2

，
当x=

1

3

时，y=2×（

1

3

+3）=

20

3

，
当x=

1

2

时，y=2×（

1

2

+2）=5，
当x=1时，y=2×（1+1）=4，
当x=2时，y=2×（2+

1

2

）=5，
当x=3时，y=2×（3+

1

3

）=

20

3

，
当x=4时，y=2×（4+

1

4

）=

17

2

．
函数图象如右图：

（2）由（1）的计算结果和函数图象知：当x=1时，y=2（x+

1

x

）有最小值，且最小值为4．

（3）证明：∵x＞0，且x=（

x

）²，
∴y=2（x+

1

x

）=2[（

x

）²-2+（

1

x

）²]+4=2（

x

-

1

x

）²+4；
∴当

x

=

1

x

，即x=1时，函数y=2（x+

1

x

）有最小值，且最小值为4．

点评：此题主要考查的是利用配方法求函数最小（大）值的方法；通过给出的材料，以常见的二次函数作为样例，提出了较复杂函数最值的解法，充分理解阅读部分的含义是解题的关键．