Question

【题目】已知：如图，一次函数y=－2x与二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图像交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与其对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标；

（2）设二次函数图像的顶点为D，点C与点D关于 x轴对称，且△ACD的面积等于2.

① 求二次函数的解析式；

② 在该二次函数图像的对称轴上求一点P（写出其坐标），使△PBC与△ACD相似.

Answer 1

【答案】（1）C点的坐标为（－1，2）；

（2）①y＝2x2＋4x； ②点P的坐标为（－1， 10），（－1， ）

【解析】（1）由抛物线的对称轴方程可知x=-1，将x=-1代入y=－2x得：y=2，从而可知点C的坐标为（-1，2）；

（2）①根据关于x轴对称的坐标特点可知D（-1，-2)，从而得到CD=4，然后三角形的面积公式可求得CD边上的高，故此可知得到点A的坐标为（0，0），设抛物线的解析式y＝a(x+1)2－2过点A，即可得：a=2，从而得出抛物线的解析式；②利用两个三角形相似求出P点的坐标.

解：（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，∴它的对称轴为x＝－1．

又∵一次函数y=－2x与对称轴交于点C，∴y＝2．

∴C点的坐标为（－1，2）．

（2）①∵点C与点D 关于x轴对称，∴点D的坐标为（－1，－2）．

∴CD=4，∵△ACD的面积等于2．

∴点A到CD的距离为1，C点与原点重合，点A的坐标为（0，0）

设二次函数为y＝a(x+1)2－2过点A，则a＝2,

∴y＝2x2＋4x．

②交点B的坐标为（－3，6）．

当△PBD∽△CAD，点P的坐标为（－1， 10），

当△PBD∽△ACD，点P的坐标为（－1，），

∴点P的坐标为（－1， 10），（－1，）.

“点睛”本题主要考查的是一次函数、二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象的性质、关于x轴对称点的坐标特点、利用相似三角形的性质求出点P的坐标是解题的关键.