Question

清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很有兴趣的帝王，近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：

“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数．”

用现在数学语言表达是：

“若直角三角形的三边长分别为3、4，5的整数倍，设其面积为S，则

第一步：；

第二步：；

第三步：分别用3，4、5乘k，得三边长．”

(1)当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；

(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)当S=150时，，，因为3×5=15，4×5=20，5×5=25，所以直角三角形的三边长分别为15，20，25． (2)正确，设直角三角形的三边长分别为3k、4k、5k． 因为，所以．所以三边长分别为，，．

提示：

(1)根据题目中所给出的计算步骤，将S=150代入，求m，再求k，最后求三边长．(2)先用面积表示出三边长，再去比较“积求勾股法”中的边长与面积的关系，如果通过比较，得出的结论相同，则说明“积求勾股法”正确．