Question

如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120^o，M，N分别是AB，BC边上的中点
（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短. （不用写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC边上的高为1，求MP+NP的最短长度.

Answer 1

（1）如图所示，点P即为所求．
（2）连接AM'，MP，BP
∵点M'和点M关于AC对称
∴MP=M'P， ∠MPA=∠M'PA
又∵PA=PA ∴△MPA≌△M'PA
∴∠BAC=∠M'AC，AM=AM'
又∵AB=BC
∴∠BAC=∠C
∴∠M'AC=∠C
又∵M,N分别为AB，BC边上的中点
∴AM=NC 即：AM'=NC
又∵∠APM'=∠CPN
∴△APM'≌△CPN
∴AP=PC
∴BP为AC边上的高
又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30^o
∴BP=AB=MB
又∵∠ABP=60^o.
∴△BMP为等边三角形
∴MP=BP=1
同理：NP=1
∴MP+NP的最短长度为2．