Question

【题目】已知菱形中，为对角线，点是的中点，连接交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接.

（1）若，求证：四边形是正方形

（2）已知，求的长；

（3）若固定，设，将绕着点从点开始逆时针旋转过程中，菱形也随之变化，且满足，若是直角三角形，直接写出的值；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） ．

【解析】

（1）由菱形的性质可得，由垂直平分线的性质可得，，由等边对等角可得：，等量代换可得，由平行线的判定及性质可得，＝90°，继而由正方形的判定求证结论；

（2）由菱形的性质可知，，由相似三角形的判定可得，继而由相似三角形对应边成比例的性质可得：，根据题（1）可知，进而可证△BGE∽△BAD，由此可知，代入数据，求出，最后由线段垂直平分线的性质求解；

（3）根据题意，从旋转过程中可看出，线段在旋转360°的过程中，由0°增大到90°再减小到0°再增加到90°再到0°，据此结合图形即可求解．

解：（1）∵四边形是菱形

∴，∴，∵的垂直平分线交于点

∴，∴，∴

∴∴∵，

∴∵四边形是菱形

∴四边形是正方形

（2）∵四边形是菱形

∴，∴；

∴∴

∵∴△BGE∽△BAD，∴

∵∴

∵的垂直平分线交于点∴．

（3）若是直角三角形时的值可能是60°，90°，270°或300°

∵从旋转过程中可看出，线段在旋转360°的过程中，由0°增大到90°再减小到0°再增加到90°再到0°

∴第一次出现是直角三角形时，如图1所示，此时为的一半，可得旋转角度即为60°；第二次出现是直角三角形时，如图2所示，此时（1）中已证明旋转角度即为90°；当继续旋转时到达的下方，同理可得旋转角度为270°和300°．