Question

（2013•仓山区模拟）如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=3，动点M、N分别从点A、C同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿AB向终点B运动，点N沿CD向终点D运动，过点N做NP⊥CD于点N，交BD于P，过点M作MQ⊥AB，交BD于点Q，连接NQ、MP，当两点运动了t秒时
（1）若t=1，即AM=CN=1时，求证：四边形MPNQ是平行四边形；
（2）若四边形MPNQ是菱形，求t的值；
（3）设四边形MPNQ的面积为S，求S关于t的函数解析式；并回答：当t为何值时，y随x的增大而减小．

Answer 1

分析：（1）先由矩形的性质及已知条件得出∠ABD=∠CDB，BM=DN，再利用ASA证明△BMQ≌△DNP，根据全等三角形的性质及平行线的判定得到MQ=NP，MQ∥NP，从而证明出四边形MPNQ是平行四边形；
（2）如图1，延长NP交AB于E，由tan∠DBA=

PE

BE

=

QM

BM

=

DA

AB

，即

PE

t

=

QM

4-t

=

3

4

，得出PE=

3

4

t，QM=

3

4

（4-t），再根据菱形的性质得出QM=MP，由此列出方程[

3

4

（4-t）]²=（

3

4

t）²+（4-2t）²，解方程即可；
（3）由于0≤t≤4且t≠2，所以分两种情况进行讨论：①0≤t＜2；②2＜t≤4．先用含t的代数式分别表示QM，ME，再根据平行四边形的面积=底×高得到S关于t的函数解析式，然后根据二次函数的增减性即可得出t为何值时，y随x的增大而减小．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵AM=CN，
∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN．
在△BMQ与△DNP中，

∠MBQ=∠NDP BM=DN ∠BMQ=∠DNP=90°

，
∴△BMQ≌△DNP（ASA），
∴MQ=NP，∠MQB=∠NPD，
∴MQ∥NP，
∴四边形MPNQ是平行四边形；

（2）如图1，延长NP交AB于E，则NE⊥AB，四边形BENC为矩形，
∵AM=CN=BE=1•t=t，
∴BM=AB-AM=4-t，ME=|BM-BE|=|4-t-t|=|4-2t|，
∵tan∠DBA=

PE

BE

=

QM

BM

=

DA

AB

，
∴

PE

t

=

QM

4-t

=

3

4

，
∴PE=

3

4

t，QM=

3

4

（4-t），
若四边形MPNQ是菱形，则QM=MP，
∴[

3

4

（4-t）]²=（

3

4

t）²+（4-2t）²，
整理，得8t²-23t+14=0，
解得t=2或

7

8

，
∵t=2时，M、N分别在AB、CD的中点，即此时M、Q、P、N四点共线，
∴t=2不合题意，舍去，即t=

7

8

．
故四边形MPNQ是菱形时，t的值为

7

8

；

（3）分两种情况：
①当0≤t＜2时，如图1，
∵QM=

3

4

（4-t），ME=BM-BE=4-t-t=4-2t，
∴平行四边形MPNQ的面积S=QM•ME，
=

3

4

（4-t）•（4-2t）
=

3

2

t²-9t+12
=

3

2

（t²-6t）+12
=

3

2

（t-3）²-

3

2

，
∴当0≤t＜2时，y随x的增大而减小；
②当2＜t≤4时，如图2，
∵QM=

3

4

（4-t），ME=BE-BM=t-（4-t）=2t-4，
∴平行四边形MPNQ的面积S=QM•ME，
=

3

4

（4-t）•（2t-4）
=-

3

2

t²+9t-12
=-

3

2

（t²-6t）-12
=-

3

2

（t-3）²+

3

2

，
∴当3＜t≤4时，y随x的增大而减小．
综上所述，S关于t的函数解析式为S=

3 2 t2-9t+12(0≤t＜2) - 3 2 t2+9t-12(2＜t≤4)

，且当0≤t＜2或3＜t≤4时，y随x的增大而减小．

点评：本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线、全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，三角函数的定义，菱形的性质，平行四边形的面积，二次函数的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．