Question

12．已知如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，2）三点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M在抛物线的对称轴上，当△AMC的周长最小时，求点M的坐标；
（3）点P是在第一象限内抛物线上的一动点，问点P在何处时△BCP的面积最大？最大面积是多少？并写出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得MA与MB的关系，根据两点之间线段最短，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）；
由抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，2），得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
   解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
（2）如图1，
连接AC，作抛物线的对称轴；
∵点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，
∴连接BC，与抛物线对称轴交点M，此时MA+MC=BC最短，
即△AMC的周长最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b
由直线BC经过点B（3，0）、C（0，2）得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x+2，
又∵抛物线的对称轴为：x=1
∴当x=1，y=-$\frac{2}{3}$+2=$\frac{4}{3}$，
即点M的坐标为（1，$\frac{4}{3}$）；

（3）如图2，
作PD⊥x轴，垂足为D，与BC交点E；连接BC、PC、PB；
设点P的坐标为（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2），则点E的坐标为（x，-$\frac{2}{3}$x+2）．
PE=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2-（-$\frac{2}{3}$x+2）=-$\frac{2}{3}$x²+2x；
∵S_△PCE=$\frac{1}{2}$PE•OD；S_△PBE=$\frac{1}{2}$PE•BD；
∴S_△BCP=$\frac{1}{2}$PE•（OD+BD）=$\frac{1}{2}$PE•OB=$\frac{1}{2}×$3×（-$\frac{2}{3}$x²+2x）=-x²+3x．
又∵-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$
∴当x=$\frac{3}{2}$时，△BCP的面积最大，最大面积为$\frac{9}{4}$，
x=$\frac{3}{2}$，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2=$\frac{5}{2}$，
点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用两点之间线段最短得出M点坐标是解题关键，利用面积的和差得出二次函数是解（3）的关键．