Question

如图，已知点A（-12，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°．
（1）求点C的坐标；
（2）求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l的解析式；
（3）在l上求出满足S_△PBC=

1

2

S_△ABC的点P的坐标；
（4）已知点M在l上，在平面内是否存在点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

（1）由△AOC∽△COB，可得OC²=OA×OB=36，
∴OC=6
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标是（0，6）；

（2）过点D作DE⊥BC于点E．设DB的长为m．
在Rt△DEB中，DE=DB•sinB=m•

AC

AB

=

2 5

5

m，BE=DB•cosB=

5

5

m
在Rt△DEC中，∠DCE=45°，于是CE=DE=

2 5

5

m
由CE+BE=BC，即

2 5

5

m+

5

5

m=3

5

，解得m=5
又由OA＞OB，知点D在线段OA上，OB=3，所以OD=2，故点D（-2，0）；
设直线l的解析式为：y=kx+b，把C（0，6）和D（-2，0）代入y=kx+b中，
得

b=6 -2k+b=0

，
解得

k=3 b=6

．
故直线l的解析式为：y=3x+6；

（3）①取AB的中点F（-4.5，0），过点F作BC的平行线交直线l于点P₁，连接CF．
易知S_△P1BC=S_△FBC=S_△ACB，∴点P₁为符合题意的点．
直线P₁F可由直线BC向左平移BF个单位得到（即向左平移7.5个单位）
而直线BC的解析式为y=-2x+6，

即直线P₁F的解的式为y=-2（x+7.5）+6即
y=-2x-9，由

y=-2x-9 y=3x+6

得点P₁（-3，-3）
②在直线l上取点P₂使CP₂=CP₁，此时有S_△P2BC=S_△P1BC=

1

2

S_△ACB，∴点符P₂合题意．
由CP₂=CP₁，可得点P₂的坐标为（3，15），∴点P（-3，-3）或P（3，15）可使S_△PBC=

1

2

S_△ABC；

（4）当OC是菱形的对角线时，OC的中点的坐标是（0，3），则把y=3代入l的解析式得：3x+6=3，
解得：x=-1．
则M的坐标是（-1，3），N的坐标是（1，3）；
当OC是菱形的一条边时，点N的坐标是（-

18

5

，

6

5

），（

3 10

5

，

9 10

5

），（-

3 10

5

，-

9 10

5

）．
故N的坐标是（1，3）或（-

18

5

，

6

5

）或（

3 10

5

，

9 10

5

）或（-

3 10

5

，-

9 10

5

）．