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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立如图所示的精英家教网平面直角坐标系．
    （1）求点的坐标：A
     
    ，B
     
    ，C
     
    ，
     
    ，AD的中点E
     
    ；
    （2）求以E为顶点，对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
    （3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
    （4）△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．
    分析：（1）根据题意和图象可知OA=OB=1，AD=BC=4，所以（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
    （2）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，把点B（0，-1）代入可得a=-
    1
    2
    ，即可求得二次函数的解析式；
    （3）利用直线BD的解析式为y=
    1
    2
    x-1，和抛物线解析式联立成方程组即可求得交点坐标为P（3，
    1
    2
    ）；
    （4）分别求出S△PEB=
    1
    2
    S△PBC•S△PBC=
    1
    2
    ×4×
    3
    2
    =3，S△PEB=
    1
    2
    ×（1×2+1×1）=
    3
    2
    ，从而证明S△PEB=
    1
    2
    S△PBC．
    解答：精英家教网解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；

    （2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
    ∵抛物线经过点B（0，-1），
    ∴a（0-2）2+1=-1，解得a=-
    1
    2
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    （x-2）2+1，
    经验证，抛物线y=-
    1
    2
    （x-2）2+1经过点C（4，-1）；

    （3）直线BD的解析式为y=
    1
    2
    x-1，解方程组得点P的坐标：P（3，
    1
    2
    ）；

    （4）S△PEB=
    1
    2
    S△PBC•S△PBC=
    1
    2
    ×4×
    3
    2
    =3，S△PEB=
    1
    2
    ×（1×2+1×1）=
    3
    2
    ，
    ∴S△PEB=
    1
    2
    S△PBC．
    点评：主要考查了坐标的对称特点和二次函数中的有关性质．本题是数形结合的综合题，要熟练运用解析式与点的坐标之间的关系求解．把几何图形有机的和二次函数结合起来．
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