Question

【题目】已知：在中，，，对角线，相交于点.点是线段上一动点（不与、重合），连接，以为边在的右侧作，且，.

（1）如图①，若点落在线段上，则线段与线段的数量关系是______；

（2）如图②，若点不在线段上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）AE=BE；（2）成立，理由见解析

【解析】

（1）先根据题意判断是菱形，再利用菱形的性质得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出结论；
（2）先判断出△ACD和△AEF是等边三角形，进而得出∠CAE=∠DAF，即可判断出△ACE≌△ADF，即可得出结论.

(1)如图,连接AF，

∵，且，

∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=30°，
∴∠OAE=∠OAF=30°，
∴∠DAF=30°=∠ADO，
∴AF=FD，
∵AF=EF，
∴EF=FD；
∵∠AEF=60°，
∴∠BAE=30°=∠ABO，
∴AE=BE.
(2)成立，如图，

连接CE，AF，
∵四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形，
∴AD=CD,AE=EF,BD垂直平分AC,∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ADC=∠AEF=60°，
∴△ACD和△AEF是等边三角形，
∴AC=AD,AE=AF=EF,∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中, ，
△ACE≌△ADF（SAS），
∴EC=DF，
∵BD垂直平分AC，
∴EC=AE，
∴DF=AE=EF