Question

根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x²-x-6=（x+2）（x-3），右边的两个一次两项式的系数有关系₁¹×_-3²，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题．
（1）填空：
①分解因数：6x²-x-2=

 

．
②解方程：3x²+x-2=0，左边分解因式得（

 

）（

 

）=0，∴x₁=

 

，x₂=

 

．
（2）解方程x2+

2

x2-3

=0．

Answer 1

分析：（1）①利用十字相乘法，将6分解为2、3，将-2分解为1、-2，则6x²-x-2=（2x+1）（3x-2）．
②利用十字相乘法，将二次项系数3分解为1、3，将常数项分解为1、-2，则3x²+x-2=（x+1）（3x-2）．

解答：解：（1）①、6x²-x-2=（2x+1）（3x-2）．
②、3x²+x-2=0，
左边分解因式得（x+1）（3x-2）=0，
解得：x₁=-1，x₂=

2

3

；

（2）解方程两边都乘以（x²-3），
得x²（x²-3）+2=0，
化简得x⁴-3x²+2=0
设y=x²，则原方程为y²-3y+2=0，
解这个方程得y₁=1，y₂=2，
即x²=1或x²=2，
解这两个方程得x1=1，x2=-1，x3=

2

，x4=-

2

，
经检验，x1=1，x2=-1，x3=

2

，x4=-

2

均为原方程的根．

点评：本题考查了利用十字相乘法进行因式分解和解分式方程，十字相乘法在因式分解和解方程中有着广泛的应用，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．在解分式方程时，当次数较高时，可应用换元法．