Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）如图②，连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连结CE，记△CEF的面积为S，求出S的最大值及此时E点的坐标．

Answer 1

解：（1）因为抛物线的顶点为（1，），
所以设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）²+，
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1）²+=4．
解得：a=-．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-（x-1）²+．

（2）如图①，过点C作CE⊥对称轴与点E，
当CD=CP₁时，∵点C（0，4），顶点为（1，），
∴CD==，DE=4，
∴CP₁=，EP₁=4，
∴P₁的坐标为：（1，8），
当CD=DP₂时，P₂的坐标为：（1，），
当CP₃=DP₃时，
设CP₃=DP₃=y，
∴CE²+EP=CP，
∴1+（4-y）²=y²，
解得：y=，
∴P₃的坐标为：（1，），
当CD=CP₄时，
P₄的坐标为：（1，-），
综上所述：符合条件的所有P点坐标是：
（1，），（1，-），（1，8），（1，）；

（3）令-（x-1）²+=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，．
∴抛物线y=-（x-1）²+与x轴的交点为A（-2，0），B（4，0）．
过点F作FM⊥OB于点M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
=．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×CO=EB．
设E点坐标（x，0），则EB=4-x．MF=（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=EB•CO-EB•MF，
=EB（OC-MF）=（4-x）[4-（4-x）]
=-x²+x+=-（x-1）²+3．
Qa=-＜0，
∴S有最大值．
当x=1时，S_最大值=3．
此时点E的坐标为（1，0）．
分析：（1）将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a （ x-1）²+，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；
（2）利用等腰三角形的性质分别得出P点的坐标；
（3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=-x²+x+，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．