Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD=，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】解：（1）证明：连接OA，

∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=300。

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300。

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=900。∴OA⊥PA。

∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线。

（2）在Rt△OAP中，∵∠P=300，

∴PO=2OA=OD+PD。

又∵OA=OD，∴PD=OA。

∵PD=，∴2OA=2PD=2。

∴⊙O的直径为2。．

（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=300，再由AP=AC得出

∠P=300，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论。

（2）利用含300的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径。