Question

如图，已知，A、B、C为圆上的三点，∠ACB=90°，BD与AC的延长线交于点D，AB=10，BC=6，∠D=∠ABC．
（1）求AC的长；
（2）求证：BD是圆的切线；
（3）求CD的长．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）因为∠D+DBC=180°-∠BCD=90°，又∠D=∠ABC，所以在△ABD中，∠ABD为90°，所以BD是圆点的切线；
（3）先求出△ADB和△ABC相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据求出AD的长度，CD=AD-AC．

解答：（1）解：∵∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形，
由勾股定理，
得AB²=AC²+BC²，
∴AC=

AB2-BC2

=8；

（2）证明：由∠ACB=90°，可得AB是圆的直径，
∵∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠D+∠DBC=90°，
又∵∠D=∠ABC，
∴∠ABC+∠DBC=90°，
即∠ABD=90°，
∴BD是圆的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）；

（3）∵∠D=∠ABC，∠A为公共角，
∴△ADB∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AB

AC

，
∴AD=

AB2

AC

=

102

8

=12.5，
CD=AD-AC=12.5-8=4.5．

点评：本题是综合题，主要利用勾股定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定和相似三角形的性质，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解题的关键．