Question

已知关于x的二次方程k²x²+2（3-k）x+1=0的两个实数根的倒数之和为P，则P的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据一元二次方程的定义和△的意义得到k²≠0，即k≠0，且△≥0，即4（3-k）²-4×k²×1≥0，则有k≤

3

2

且k≠0；再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

2(3-k)

k2

，x₁•x₂=

1

k2

，由题意得

1

x1

+

1

x2

=

x1x2

x1x2

=2（k-3）=p，得k=

p+6

2

，把k=

p+6

2

代入k≤

3

2

且k≠0即可得到P的取值范围．

解答：解：∵关于x的二次方程k²x²+2（3-k）x+1=0的两个实数根，
∴k²≠0，即k≠0，且△≥0，即4（3-k）²-4×k²×1≥0，解得k≤

3

2

，
∴k≤

3

2

且k≠0；
设方程的两根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-

2(3-k)

k2

，x₁•x₂=

1

k2

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1x2

x1x2

=2（k-3）=p，
∴k=

p+6

2

，
∴

p+6

2

≤

3

2

，且

p+6

2

≠0，
∴P≤-3且p≠-6．
故答案为P≤-3且p≠-6．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式以及不等式的解法．