Question

如图抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式。（不必说明平分平行四边形面积的理由）

第26题图

备用图

备用图‚

Answer 1

解：（1）由抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）得，

           ………………………………………………………1分

解得，   ∴抛物线的解析式为； …………2分

（2）解法一： 设点P（m,0）

∵点P在抛物线上，

∴PE=

把代入得, ∴C(0,3) ……3分

设直线BC解析式为，则

                                              

解得   ∴直线BC解析式为…………4分        第26题 图①

∵点F在直线BC上，∴PF=

∴EF=PE-PF=      ……………………………5分

若四边形ODEF是平行四边形,则EF=OD=2

∴,            ……………………………6分

解得          ………………………………7分

∴P（1,0）或 P（2,0）             ………………………8分

解法二：如图②

把代入得, ∴C(0,3)

设直线BC解析式为，则

                                              第26题 图②

解得                       

∴直线BC解析式为            …………3分

过点D作DG⊥EF于点G，则四边形ODGP是矩形

∴DG=OP  

若四边形ODEF是平行四边形  ∴DE∥OF

∴∠DEF=∠OFP

∵∠DGE=∠OPF=90°

 ∴△DEG≌△OFP

 ∴EG=FP                            ………………4分                             

设点P（m,0）∵点P在抛物线上，

∴PE=                ………………5分

∵点F在直线BC上，∴PF

∵EG==

∴=     ……………………6分

∴,解得      ………7分

∴P（1,0）或 P（2,0）           …………………8分

(3)当点P(2,0)时，即OP=2,如图③

       连接DF、OE相交于点G，取OP的中点H,连接GH

∵四边形ODEF是平行四边形

      ∴OG=GE

∴GH是△OEP的中位线

∴GH∥EP,GH=PE

      把=2代入得， ，即PE=3

∴GH=                                                      第26题图③

∵GH∥EP 

∴GH⊥OP

 ∴G(1，)                   ……………………9分

      设直线AG的解析式为，则

      ，              ……………………10分

解得

∴将平行四边形ODEF的面积等分的直线解析式为…11分

当点P(1,0)时，即OP=1,如图④

     连接DF、OE相交于点G，取OP的中点H,连接GH,

∵四边形ODEF是平行四边形

     ∴OG=GE

     ∵OH=HP=OP=

∴GH是△OEP的中位线

∴GH∥EP,GH=PE

 把=1代入得， ，即PE=4      第26题 ④图

∴GH=2                                                   

∵GH∥EP  ∴∠GHO=∠EPO=90°

     ∴G(，2)                              ……………………12分

     设直线AG的解析式为，则

                               ……………………13分               

解得                           

∴将平行四边形ODEF的面积等分的直线解析式为

  综上所述，直线解析式为  或