Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.

(1)如图1，通过图形旋转的性质可知AD＝_____，∠DAE＝_____度.

（解决问题）

(2)如图1，证明BC＝DC+EC；

（拓展延伸）

如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED.

(3)若AD＝6，CD＝3，求BD的长.

Answer 1

【答案】(1)AE，90；(2)证明见解析；(3)BD=9.

【解析】

(1)利用旋转变换的性质即可解决问题；(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)，推出BD＝CE，可得结论；(3)如图2中，连BD.证明△ABD≌△ACE(SAS)，推出BD＝CE，再证明△ECD是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.

解：

(1)由旋转的性质可知：AD＝AE，∠DAE＝90°.

故答案为AE，90.

(2)如图1中，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+DC＝EC+CD.

(3)如图2中，连BD.

∵∠BAC＝∠DAE，

∴BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝CE，

而∠ADE＝∠ADC＝45°，

∴△ECD为直角三角形，

∴EC2＝CD2+ED2＝CD2+2AD2＝81，

∴EC＝9，即：BD的长为9.