Question

【题目】如图1，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．

　　　

（1）求，的值；

（2）点是第一象限抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点．当△为等腰三角形时，求点的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为，已知直线与二次函数图象相交于，两点．求证：无论为何值，△恒为直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标，，；（3）见解析．

【解析】

（1）将点代入解析式中即可求出结论；

（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点，则点 ，过点作于点，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三线合一、等腰直角三角形的性质列出方程即可求出结论；

（3）将二次函数和一次函数的解析式联立，整理得，设点的坐标为，根据根与系数的关系可得则， ，，然后利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理即可证出结论．

解：（1）将点代入，

得，

解得，

∴；

（2）设直线的解析式为，

将点代入，

得，，

∴直线的解析式为，

设点，则点 ，

过点作于点，

①当时，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

解得，（舍去），，

∴；

②当时，

，

解得

∴

③当时，此时点P和点M重合

，

解得

∴

综上所述点的坐标，，；

（3）将二次函数与直线的表达式联立并整理得：，

设点的坐标为，

则，

则 ，

同理：，

点的坐标为，，点，

∴

即：为直角三角形．