Question

（2012•凉山州）对于正数x，规定 f(x)=

1

1+x

，例如：f(4)=

1

1+4

=

1

5

，f(

1

4

)=

1

1+ 1 4

=

4

5

，则f(2012)+f(2011)+…+f(2)+f(1)+f(

1

2

)+…+f(

1

2011

)+f(

1

2012

)=

2011.5

．

Answer 1

分析：当x=1时，f（1）=

1

2

；
当x=2时，f（2）=

1

3

，当x=

1

2

时，f（

1

2

）=

2

3

；
当x=3时，f（3）=

1

4

，当x=

1

3

时，f（

1

3

）=

3

4

…，
故f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…，所以f（n）+…+f（1）+…+f（

1

n

）=f（1）+（n-1），由此规律即可得出结论．

解答：解：∵当x=1时，f（1）=

1

2

，当x=2时，f（2）=

1

3

，当x=

1

2

时，f（

1

2

）=

2

3

；当x=3时，f（3）=

1

4

，当x=

1

3

时，f（

1

3

）=

3

4

…，
∴f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…，
∴f（n）+…+f（1）+…+f（

1

n

）=f（1）+（n-1），
∴f(2012)+f(2011)+…+f(2)+f(1)+f(

1

2

)+…+f(

1

2011

)+f(

1

2012

)=f（1）+（2012-1）=

1

2

+2011=2011.5．
故答案为：2011.5．

点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意得出f（n）+f（

1

n

）=1是解答此题的关键．