Question

如图1，在平面直角坐标系中，A、B分别为x、y轴正半轴上的点，以AB为边作正方形ABCD，已知OA、OB是方程x²-3x+m=0的两根，且满足关系式OB=2OA．
（1）求D点的坐标；
（2）如图2，以A为圆心AB为半径作⊙A，DE∥OB交⊙O于E，交x轴于F，连BE，求线段BE的长；
（3）如图3，将线段AD绕着平面内某一点旋转180°，得A、D的对应点分别为M、N（A对应M，D对应N），是否存在这样的点M、N，使点M落在y轴上，而点N落在双曲线（x＜0）上？若存在，求M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设OA=x₁，OB=x₂
依题意得x₁+x₂=3；x₂=2x₁；
∴x₁=1，x₂=2
∴A（1，0），B（0，2）
过点D作DH⊥x轴于点H，
∵∠BAO+∠DAH=90°，∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠OBA=∠DAH，
在△AOB和△DHA中

∴△AOB≌△DHA（AAS），
∴DH=OA=1，AH=OB=2，
∴D（3，1）；

（2）由（1）中得A（1，0）、B（0，2）、D（3，1），
∵DE∥OB交⊙O于E，交x轴于F，
∴D，E关于x轴对称，
∴E （3，-1）
根据勾股定理得：BE==；

（3）如图3所示：
设线段AD绕P（x，y）旋转180°，N（a，），
根据中心对称的性质，可得P点横坐标为：，
∴-a+=3-，
解得：a=-2，
∴N点坐标为：（-2，2），
∴P点纵坐标为；2-（3-2）÷2=，
∴M点坐标为：（0，3）．
分析：（1）利用根与系数的关系得出A，B的值，进而得出△AOB≌△DHA（AAS），即可得出D点坐标；
（2）由（1）中得A（1，0）、B（0，2）、D（3，1），进而得出D，E关于x轴对称，再由勾股定理求出BE的长；
（3）设线段AD绕P（x，y）旋转180°，N（a，），根据中心对称的性质，可得P点横坐标为：，进而得出a的值，即可得出P点纵坐标，即可得出M点坐标．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质和勾股定理等知识，根据已知得出旋转中心的坐标是解题关键．