Question

【题目】已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并且与直线y=x相切，设半圆C1、C2、C3、C4的半径分别是r1、r2、r3、r4 ， 则当r1=1时，r4=（　　）

A. 3 B. 32 C. 33 D. 34

Answer 1

【答案】C

【解析】

设三个半圆与直线y=x分别相切于A、B、C点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线OC的方程得到直线的倾斜角为30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC1=2C1A，OC2=2C2B，OC3=2C3C，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r1、r2、r3间的关系，由r1的值可得出r2、r3的值，按照此规律可归纳出r4的值．

设半圆C1、半圆C2、半圆C3直线y=x分别相切于点A,B,C,连接C1A,C2B,C3C，

则C1A⊥OA,C2B⊥OB,C3C⊥OC，

∵tan∠COC1=，

∴∠COC1=30°，

又∵三半圆彼此相外切，

∴OC1=2C1A=2r1,OC2=2C2B=2r2=OC1+r1+r2=3r1+r2,OC3=2C3C=OC2+r2+r3=3r1+2r2+r3=2r3，

∴2r2=3r1+r2,3r1+2r2+r3=2r3，

∴r2=3r1,r3=3r1+2r2，

∵r1=1=30，

∴r2=3=31，

∴r3=9=32，

∴按此规律归纳得：rn=3n1，

∴r4=33.

故答案选：C.