Question

4．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果$\frac{DP}{DE}$=$\frac{1}{4}$，那么S_△DPQ：S_△CPE的值是1：15．

Answer 1

分析 连接QE，由DE∥BC、DE过△ABC的重心即可得出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，设DE=4m，则BC=6m，结合$\frac{DP}{DE}$=$\frac{1}{4}$即可得出DP=m，PE=3m，由△DPQ与△QPE有相同的高即可得出$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$=$\frac{DP}{PE}$=$\frac{1}{3}$，再根据DE∥BC，利用平行线的性质即可得出∠QDP=∠QBC，结合公共角∠DQP=∠BQC即可得出△QDP∽△QBC，依据相似三角形的性质即可得出$\frac{QP}{QC}$=$\frac{DP}{BC}$=$\frac{1}{6}$，进而得出$\frac{QP}{PC}$=$\frac{1}{5}$，结合三角形的面积即可得出$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{QP}{PC}$=$\frac{1}{5}$，将$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$与$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$相乘即可得出结论．

解答 解：连接QE，如图所示．
∵DE∥BC，DE过△ABC的重心，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$．
设DE=4m，则BC=6m．
∵$\frac{DP}{DE}$=$\frac{1}{4}$，
∴DP=m，PE=3m，
∴$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$=$\frac{DP}{PE}$=$\frac{1}{3}$．
∵DE∥BC，
∴∠QDP=∠QBC，
∵∠DQP=∠BQC，
∴△QDP∽△QBC，
∴$\frac{QP}{QC}$=$\frac{DP}{BC}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{QP}{PC}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{QP}{PC}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$•$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$．
故答案为：1：15．

点评 本题考查了三角形的重心、平行线的性质以及相似三角形的判定与性质，根据三角形的面积找出$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$=$\frac{1}{3}$、$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{1}{5}$是解题的关键．