Question

已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点，且始终与y轴相切于定点C（0，1）。
（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；
（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形。

图1                                                   图2

Answer 1

解：（1）连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H， ∵⊙P与y轴相切于点C（0，1）， ∴PC⊥y轴， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点坐标为（k，1）， ∴PA=PC=k．在Rt△APH中，AH=， ∴OA=OH-AH=k-， ∴A（k-，0）， ∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB， ∴OB=OA+2AH=k-+2=k+， ∴B（k+，0）， 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k， 可设该抛物线解析式为y=a+h， 又抛物线过C（0，1），B（k+，0）， 得： 解得a=1，h=1-， ∴抛物线解析式为y=， （2）由（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-） ∴DH=-1， 若四边形ADBP为菱形，则必有PH=DH， ∵PH=1， ∴-1=1， 又∵k＞1， ∴k=， ∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形。

图1 图2