Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．

（1）求证：BM=DN；

（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；

（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为13，求的值．

 

Answer 1

（1）证法一：连接BD，则BD过点O．

∵AD∥BC，    ∴∠OBM=∠ODN．

又OB=OD， ∠BOM=∠DON，    

∴△OBM≌△ODN．          

∴BM=DN．                  

证法二：∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心．

∴B、D和M、N关于O点中心对称．

     ∴BM=DN． 

（2）证法一：∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC．          

 又BM=DN，    ∴AN=CM．   

        ∴四边形AMCN是平行四边形． 

由翻折得，AM=CM，            

∴四边形AMCN是菱形．       

证法二：由翻折得，AN=NC，AM=MC，

∠AMN=∠CMN．

∵AD∥BC， ∴∠ANM=∠CMN．

∴∠AMN=∠ANM．    ∴AM=AN．

∴AM=MC=CN=NA．       

∴四边形AMCN是菱形．     

（3）解法一：∵，，

又：=13，

∴DNCM=13     

设DN=k，则CN=CM=3k．

过N作NG⊥MC于点G，

则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k． 

NG=

∴MN=

∴ ．                

解

法二：∵，，

又：=13，   ∴DNCM=13   

连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN．

设DN=k，则CN=AN=CM=3k，AD=4 k．

CD=         

OC=

∴MN=

∴ ．