Question

如图，等边△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，P为BC上一点，连接EP，作等边△EPQ，连接FQ、EF。

（1）若等边的边长为20，且，求等边的边长；
（2）求证：。

Answer 1

（1）；（2）证明见解析.

试题分析：(1)在△BEP中，由条件可知∠B=60°，∠BPE=45°，BE=10，过点E作EM⊥BC于M，通过解直角三角形即可求出EP的长；
（2）取BC边中点N，可证明△ENP≌△EFQ，故NP=FQ.在△ABC中易证△EBN为等边三角形，从而可证BP=EF+FQ.
试题解析：（1）过点E作EM⊥BC于M，

∵等边△ABC
∴∠B=60°
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=10
在Rt△BEM中，
∴
∴
在Rt△EMP中，
∴
∴，即等边△EPQ的边长为
（2）证明：取BC的中点N，连接NE

∵等边△ABC
∴AB=BC
∵E为AB的中点，F为AC的中点，N为BC的中点
∴EF=BC，BE=AB，BN=BC，EF∥BC
∴EF=BE=BN
∵∠B=60°
∴△EBN是等边三角形
∴EN=BN=EF ∠ENB=60°
∵EF∥BC
∴∠FEN=60°
∴∠1+∠2=60°
∵等边△EPQ
∴EP="EQ," ∠PEQ=60°
∴∠2+∠3=60°
∴∠1=∠3
在△ENP和△EFQ中

∴△ENP≌△EFQ
∴NP=FQ
∴BP=BN+NP=EF+FQ
考点:1.解直角三角形；2.等边三角形的判定与性质.