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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知经过A、B、C三点的二次函数图象如图所示．
    （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
    （2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t取值范围；
    （3）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．
    分析：（1）根据图象可以知道A，B，C三点的坐标已知，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．进而求出顶点M的坐标．
    （2）根据待定系数法可以求出直线MB的解析式，设NQ的长为t，即N点的纵坐标是t，把x=t代入解析式就可以求出横坐标，四边形NQAC的面积s=S△AOC+S梯形OQNC，可以用t分别表示出△AOC和梯形OQNC的面积，因而就得到s与t之间的函数关系式．
    （3）可以补成的矩形有两种情况，即图1，的情况，易得未知顶点坐标是点D（-1，2）；
    以点A、点C为矩形的两个顶点，第三个顶点时，落在矩形这一边AC的对边上，如下图2，易证Rt△HOC∽Rt△COA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出OH的长，根据直线平行的关系利用待定系数法就可以求出直线AF与直线AC的解析式，两函数的交点，就是满足条件的点．
    解答：解：（1）设这个二次函数的解析式为
    y=a（x+1）（x-2），（1分）
    把点C（0，2）坐标代入其中，求得a=-1，
    y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2=-（x-
    1
    2
    ）2+
    9
    4

    ∴这个二次函数的解析式为：
    y=-x2+x+2（3分）
    顶点M的坐标为M（
    1
    2
    ，
    9
    4
    ）；（4分）
    [也可设为一般式y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入解出]

    （2）设线段BM所在直线的解析式为：y=kx+b，（5分）
    分别把B（2，0）、M（
    1
    2
    ，
    9
    4
    ）坐标代入其中，
    解得k=-
    3
    2
    ，b=3，
    ∴y=-
    3
    2
    x+3．
    若N的坐标为（x，t），则得t=-
    3
    2
    x+3，
    解得x=2-
    2
    3
    t，（6分）
    由图形可知：s=S△AOC+S梯形OQNC（7分）
    =
    1
    2
    ×1×2+
    1
    2
    （2+t）（2-
    2
    3
    t）
    化简整理得s=-
    1
    3
    t2+
    1
    3
    t+3，（8分）
    其中0＜t＜
    9
    4
    ；（9分）

    （3）以点O、点A（或点O、点C）为矩形的两个顶点，
    第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
    如下图1，此时易得未知顶点坐标是点D（-1，2）；（10分）
    以点A、点C为矩形的两个顶点，第三个顶点（即点O）
    落在矩形这一边AC的对边上，如下图2，此时
    未知顶点分别为点E、点F．（11分）
    它们的坐标求解如下：
    ∵ACEF为矩形，
    ∴∠ACE为直角，延长CE交x轴于点H，
    则易得Rt△HOC∽Rt△COA，
    ∴
    OH
    OC
    =
    OC
    OA
    ，求得OH=4，
    ∴点H的坐标H（4，0）．可求得线段CH所在直线的
    解析式为：y=-
    1
    2
    x+2；（12分）
    线段AC所在直线的
    解析式为：y=2x+2，线段EF所在直线过原点且与
    线段AC所在直线平行，从而可得线段EF所在直线的
    解析式为：y=2x；（13分）
    线段AF所在直线与直线CH平行，
    设直线AF的解析式为：y=-
    1
    2
    x+m，
    把A（-1，0）坐标代入，求得m=-
    1
    2
    ，
    ∴直线AF为：y=-
    1
    2
    x-
    1
    2
    ．
    ∵点E是直线CH与直线EF的交点；
    点F是直线AF与直线EF的交点，
    ∴得下面两个方程组：
    y=-
    1
    2
    x+2
    y=2x
    和
    y=-
    1
    2
    x-
    1
    2
    y=2x
    ，
    解得E（
    4
    5
    ，
    8
    5
    ），F（-
    1
    5
    ，-
    2
    5
    ）．（14分）
    ∴矩形的未知顶点为（-1，2）或（
    4
    5
    ，
    8
    5
    ）、（-
    1
    5
    ，-
    2
    5
    ）．
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    点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及直线平行时解析式之间的关系．
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    （2）在过A，B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，已知线段AB=
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知经过A、B、C三点的二次函数图象如图所示．
    （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
    （2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t取值范围；
    （3）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

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    科目：初中数学 来源：2003年全国中考数学试题汇编《二次函数》（04）（解析版） 题型：解答题

    （2003•黄冈）已知经过A、B、C三点的二次函数图象如图所示．
    （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
    （2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t取值范围；
    （3）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

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