Question

“青海玉树”大地震后，某公司向灾区献爱心，捐了四月份的全部销售利润．已知该公司四月份共销售A，B，C三种型号的器材，每种型号器材的销售量不少于20台．售出的三种器材的进货款总计218万元，已知四月份其他各项支付（其他各项支出=人员工资+杂项开支）为18.6万元，A，B，C三种器材的进价和售价如表所示：

型号	A	B	C
进价（万元/台）	2.1	2.3	2.2
售价（万元/台）	2.7	3.5	2.6

其中人员工资y₁（万元）和杂项支出y₂（万元）分别于销售量x（台）成一次函数关系，如图．
（1）求y₁与y₂的函数关系式；
（2）求四月份该公司的销售量；
（3）设该公司四月份售出A种型号器材t台，四月份总销售量利润为W（万元）．求W与t的函数关系式：（销售利润=销售额-进货款-其他各项支出）
（4）求该公司向灾区捐款金额的最大值．

Answer 1

分析：（1）设y₁与x的函数关系式为y₁=kx+7（k≠0），把点P（20，7.6）代入即可得出函数关系式，
（2）由题可知y₁+y₂=18.6，再把知y₁、y₂的函数关系式代入，可求得销售量，
（3）设四月份售出B种型号器材m台，根据，销售利润=销售额-进货款-其他各项支出，可列出一次函数2.1t+2.3m+2.2（100-t-m）=218，整理得到W与t的函数关系式；
（4）根据题意可得，

t≥20 t-20≥20 -2t+120≥20

，可得出t的取值范围，根据w随t的增大而增大，即可求得该公司向灾区捐款金额的最大值．

解答：解：（1）设y₁与x的函数关系式为y₁=kx+7（k≠0），
把点P（20，7.6）代入得，
7.6=20k+7，
k=0.03，
∴y₁=0.03x+7；

（2）由题可知y₁+y₂=18.6，
18.6=0.003x+8.3+0.03x+7，
3.3=0.033x，
x=100，
∴四月份该公司售出量为100台；

（3）设四月份售出B种型号器材m台，
则，2.1t+2.3m+2.2（100-t-m）=218，
m=t-20，
100-t-m=100-t-（t-20）=-2t+120，
W=（2.7-2.1）t+（3.5-2.3）（t-20）+（2.6-2.2）（-2t+120）-18.6，
=0.6t+1.2t-24-0.8t+48-18.6，
=t+5.4（t≥20）；

（4）根据题意得，

t≥20 t-20≥20 -2t+120≥20

，
∴40≤t≤50，
由W=t+5.4，
∵k=1＞0，
∴w随t的增大而增大，
∴t=50时，w_最大=50+5.4=55.4，
答：该公司向灾区捐款金额的最大值为55.4万元．

点评：本题主要考查了一次函数在实际问题中运用，弄懂题意，列出一次函数，注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．