Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y= x与直线l2：y=﹣x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．

（1）求M，N的坐标．
（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时开始结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程组 ，

解得： ，

则M的坐标是：（4，2）．

在解析式y=﹣x+6中，令y=0，解得：x=6，则N的坐标是：（6，0）

（2）

解：当0≤t≤1时，重合部分是一个三角形，OB=t，则高是 t，则面积是 ×t t= t2；

当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是： t，上底是： （t﹣1），根据梯形的面积公式可以得到：S= [ t+ （t﹣1）]= （t﹣ ）；

当4＜t≤5时，过M作x轴的垂线，则重合部分被垂线分成两个直角梯形，两个梯形的下底都是2，上底分别是：﹣t+6和 （t﹣1），根据梯形的面积公式即可求得

S=﹣ t2+ t﹣ ；

当5＜t≤6时，重合部分是直角梯形，与当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形的计算方法相同，则S= （13﹣2t）；

当6＜t≤7时，重合部分是直角三角形，则与当0≤t≤1时，解法相同，可以求得S= （7﹣t）2．

则：S=

（3）

解：在0≤t≤1时，函数值y随t的增大而增大，则当t=1时，取得最大值是： ；

当1＜t≤4时，函数值y随t的增大而增大，则当t=4时，取得最大值是： （4﹣ ）= ；

当4＜t≤5时，是二次函数，对称轴t= ，则最大值是：﹣ ×（ ）2+ × ﹣ = ；

当5＜t≤6时，函数值y随t的增大而减小，所以函数一定小于 ；

同理，当6＜t≤7时，y随t的增大而减小，所以函数一定小于 ．

所以函数的最大值是：

【解析】（1）解两条直线的解析式组成的方程组的解，即可求得交点M的坐标，在y=﹣x+6中，令y=0即可求得点N的横坐标，则N的坐标即可求解；（2）分成0≤t≤1，1＜t≤4，4＜t≤5，5＜t≤6，6＜t≤7五种情况，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式，即可求得函数的解析式；（3）分别求得每种情况下函数的最值或函数值的范围，即可确定．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．