Question

【题目】如图，在梯形中，，，，是的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．

（1）当运动时间为多少秒时，；

（2）当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；

（3），，求的面积关于运动时间的函数关系和自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当运动时间为1.5秒时，；（2）当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；（3）

【解析】

（1）根据、可判定四边形为平行四边形，此时，可得方程，解方程即可得解；

（2）分别从当在上时，四边形为平行四边形和当在上时，四边形为平行四边形两方面分析求解即可求得答案；

（3）分别从当在线段上时、当与重合时、当在线段上时、当在线段上时四方面进行讨论，从而确定的面积关于运动时间的函数关系和自变量的取值范围．

解：（1）如图示，

∵，

∴四边形为平行四边形

∴

又∵，

∴．

当运动时间为1.5秒时，．

（2）由题意知，此时有两种情况，在上或在上，

①当在上时，四边形为平行四边形

此时，

又∵，

∴

∴

∴满足题意

②当在上时，四边形为平行四边形

此时．

又∵，

∴

∴

∴满足题意；

当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．

（3）如图，过点作，交于点，连接，．

∵，

∴

∴．

∴

①如图（1），

当在线段上时，．

此时，，即：

．

②当与重合时，，此时不存在；

③当在线段上时，如图（2）

此时，且

即：

④当在线段上时，如图（3），联结，过作，交于点

此时，且，即：．

梯形

又∵

∴

∴

∴．

∴

综上所述，的面积关于运动时间的函数关系及自变量的取值范围为

故答案是：（1）当运动时间为1.5秒时，；（2）当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；（3）．